Edellisen lehden Pääsihteerin palstalla totesin, että taikuus ei toimi: taikarituaalein ei voida saada maailmasta uutta luotettavaa tietoa.

On kuitenkin olemassa ja ihmiskunnan hallussa yksi taianomainen tapa selvittää ikuisia totuuksia, jotka ovat ehdottoman luotettavia. Se on matematiikka.

Yliopistomaailmassa käydään aina organisaatiouudistuksen sattuessa kissanhännänvetoa, onko matematiikka luonnontiede vai filosofiaa. Luonnontieteille matemaattiset työkalut ovat tietysti kriittisen tärkeitä, mutta itse matematiikalle luonto ja meitä ympäröivä universumi ovat vain eräs erikoistapaus yleisemmistä matemaattisista lainalaisuuksista. Itse asiassa kaiken luonnontieteen keskeisin löydös on se, että luonto noudattaa matematiikan lakeja.

Kuten tieteessä aina, tuokin havainto tietysti aiheuttaa lisää kysymyksiä. Miksi luonto noudattaa matematiikan lakeja? Kuinka syvälle sisäkkäin luonnossa on uusia matemaattisia rakenteita? Kykenemmekö löytämään ne kaikki — ja jos niitä on rajallinen määrä, mistä tiedämme löytäneemme kaikki?

Matemaatikot tosin kohauttavat olkiaan tällaiselle erityistapauksen tonkimiselle ja jatkavat matematiikan rakenteiden kartoittamista.

Kuinka tämä filosofinen peli ”matematiikka” sitten antaa meille taianomaisesti tietoa maailmasta? Kyse on siitä, että luonto noudattaa matematiikan lakeja, ja matemaattisten päätelmien ehdottomasta ja yleispätevästä luonteesta. Kun matemaattisella päättelyllä päädytään johonkin tulokseen, asia on todellakin niin ja myös pysyy sellaisena.

Uskonnollisten jumalan olemassaolotodisteluiden kerta toisensa jälkeen rähmälleen kaatuiluun pettyneet koettavat usein lohduttaa itseään väittämällä ettei olemassaolemattomuutta voi yleensäkään todistaa, eikä siten myöskään jumalan olemassaolemattomuutta. Matematiikka kuitenkin vilisee tällaisia olemattomuustodistuksia. Eräs yksinkertainen esimerkki on neliöjuuri kahden irrationaalisuus eli että ei ole olemassa kahta kokonaislukua m ja n, joiden suhde olisi neliöjuuri 2. Koska matematiikan mukaan tällaisia lukuja ei ole, niitä ei todellakaan tule löytymään etsipä miten kauan tahansa. Kyse ei siis ole pelkästään siitä, että matematiikka ei anna keinoja osoittaa tällaiset luvut. Matematiikka kertoo, että niitä ei kertakaikkiaan ole lainkaan.

Loppuosa jumalan olemassaolemattomuuden todistamista olisi saada jonkinlainen järjellisesti muotoiltu määritelmä jumalalle. Sitä ei ole toistaiseksi näkynyt, sen enempää kuin jumalia itseäänkään.

On toisaalta myös asioita, joihin matematiikkka ei anna vastausta. Kuuluisat Gödelin epätäydellisyyslauseet (jotka siis itsessään ovat todistettuja matemaattisen logiikan tuloksia) kertovat, että on olemassa kokonaislukuja koskevia väittämiä, joita ei voida todistaa todeksi. Tunnetaan lukuisia asioita, joita ei voi algoritmisesti ratkaista: esimerkiksi pysähtyykö annettu mielivaltainen Turingin kone millä tahansa syötteellä. Nämä matematiikan itse itselleen löytämät rajat koskevat kuitenkin vain kysymysten ratkeavuutta tietyssä tarkastelukehyksessä. On avoin kysymys, onko olemassa ns. universaalisti ratkeamattomia kysymyksiä, joihin on olemassa hyvin määritelty vastaus, mutta jota olisi yleisesti ottaen mahdotonta selvittää.

Arkisessa maailmassamme, joka on matematiikalle vain melko yksinkertainen yksittäistapaus, matemaattisista päätelmistä saadaan varsin maagiselta tuntuvalla tavalla tietoa. Esimerkiksi geometrian kaavoista saadaan mittausmenetelmiä, joissa tietyt asiat mittaamalla ja tietyt laskutoimitukset tekemällä saadaan määritettyä muita mittoja. Matematiikka kertoo meille maailman rakenteesta: auringon korkeuskulma, lipputangon korkeus ja sen varjon pituus suhtautuvat toisiinsa aina täsmälleen tietyllä tavalla.

Timo Karjalainen